发信人: freevoice (freevoice), 信区: Mathematics 标 题: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Aug 22 23:08:33 2008), 转信 现代控制理论里面经常出现exp(A*t)这样的表达式，其中A是一个方阵，t是时间，我死 活也想不通为什么可以把一个矩阵放在次方项上。我过问我周围的同学，他们都说书上 这样写的就这样用呗，能做题就行。谁能告诉我为什么？我想了很久觉得可以这样理解 ：矩阵是表示着一种映射关系，也就是说矩阵是一个函数，既然我可以把函数f=x^2放在 次方项上，为什么不能把矩阵放在次方项上？虽然这样想可以在一定程度上解释我的困 惑，但是心里还是觉得怪怪的。请问我这样理解这个问题对不对？万分谢谢！ -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 12.206.]
发信人: xiphoid (运动无极限), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Aug 22 23:16:31 2008), 转信 用指数函数的幂级数定义 【 在 freevoice (freevoice) 的大作中提到: 】 : 现代控制理论里面经常出现exp(A*t)这样的表达式，其中A是一个方阵，t是时间，我死 : 活也想不通为什么可以把一个矩阵放在次方项上。我过问我周围的同学，他们都说书上 : 这样写的就这样用呗，能做题就行。谁能告诉我为什么？我想了很久觉得可以这样理解 : ：矩阵是表示着一种映射关系，也就是说矩阵是一个函数，既然我可以把函数f=x^2 放在 : 次方项上，为什么不能把矩阵放在次方项上？虽然这样想可以在一定程度上解释我的困 : 惑，但是心里还是觉得怪怪的。请问我这样理解这个问题对不对？万分谢谢！ -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.199.]
发信人: freevoice (freevoice), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Aug 22 23:23:24 2008), 转信 对，定义是这样定义的。有没有再本质一点的理解？可是你在学函数级数展开的时候会 想过可以把矩阵代进去吗？我觉得第一个想到这样做的人很牛。还是谢谢你的回贴！ 【 在 xiphoid (运动无极限) 的大作中提到: 】 : 用指数函数的幂级数定义 : 放在 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 12.206.]
发信人: guvest (我爱你老婆Anna), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Aug 22 23:29:37 2008), 转信 按照指数函数是由微分方程定义的最容易理解。 【 在 xiphoid (运动无极限) 的大作中提到: 】 : 用指数函数的幂级数定义 : 放在 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 98.243.]
发信人: xiphoid (运动无极限), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Aug 22 23:33:21 2008), 转信 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经 是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？ 更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”， “算子半群” 或者 “李群指数映射” spectral decomposition semigroup of operators exponential map 【 在 freevoice (freevoice) 的大作中提到: 】 : 对，定义是这样定义的。有没有再本质一点的理解？可是你在学函数级数展开的时候会 : 想过可以把矩阵代进去吗？我觉得第一个想到这样做的人很牛。还是谢谢你的回贴！ -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.199.]
发信人: cockroach (冬冬), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Aug 23 00:21:18 2008), 转信 给你一道习题，证明这个级数是收敛的 【 在 freevoice (freevoice) 的大作中提到: 】 : 对，定义是这样定义的。有没有再本质一点的理解？可是你在学函数级数展开的时候会 : 想过可以把矩阵代进去吗？我觉得第一个想到这样做的人很牛。还是谢谢你的回贴！ -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 134.84.]
发信人: freevoice (freevoice), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Aug 23 00:44:09 2008), 转信 谢谢！把矩阵理解成一个算子对我理解很有帮助！说实话我对算子这个概念也不是很清 楚。算子和函数有什么区别？ 【 在 xiphoid (运动无极限) 的大作中提到: 】 : 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经 : 是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？ : 更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”， : “算子半群” 或者 “李群指数映射” : spectral decomposition : semigroup of operators : exponential map -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 12.206.]
发信人: guvest (我爱你老婆Anna), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Aug 23 19:38:12 2008), 转信 Bourbaki的书里面指数函数是微分方程定义的吧。 x'=x定义出exp函数。 标量微分方程解x'=x存在是用Picard iteration方法证明的。 所以推广到x'=Ax我想是比较自然的想法。 但往矩阵推广的严格证明其实还是挺麻烦的， 一般的微分方程课本上很多证明都有漏掉环节。 【 在 xiphoid (运动无极限) 的大作中提到: 】 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经 是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？ 更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”， “算子半群” 或者 “李群指数映射” spectral decomposition semigroup of operators exponential map 【 在 freevoice (freevoice) 的大作中提到: 】 : 对，定义是这样定义的。有没有再本质一点的理解？可是你在学函数级数展开的时候会 : 想过可以把矩阵代进去吗？我觉得第一个想到这样做的人很牛。还是谢谢你的回贴！ -- -- ※ 修改:·guvest 于 Aug 23 20:41:23 修改本文·[FROM: 98.243.] ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 98.243.]
发信人: guvest (我爱你老婆Anna), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Aug 23 19:39:49 2008), 转信 证明exp(At)收敛并不简单。 如果事先只学过单变量微积分，90% 的人我看证明不出来。 x'=Ax的通解啥的，是高斯之后才彻底搞清楚的吧。 【 在 cockroach (冬冬) 的大作中提到: 】 : 给你一道习题，证明这个级数是收敛的 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 98.243.]
发信人: xiphoid (运动无极限), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Aug 23 23:25:48 2008), 转信 学过线性代数就行了，都用不着微积分 【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】 : 证明exp(At)收敛并不简单。 : 如果事先只学过单变量微积分，90% 的人我看证明不出来。 : x'=Ax的通解啥的，是高斯之后才彻底搞清楚的吧。 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.199.]
发信人: DrumMania (嫑跑，兲), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Aug 23 23:34:54 2008), 转信 我记得当时老师说exp(At)就是用微分方程定义的，是个符号 只不过最后“碰巧”跟标量函数exp(x)的特性一致 【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】 : Bourbaki的书里面指数函数是微分方程定义的吧。 : x'=x定义出exp函数。 : 标量微分方程解x'=x存在是用Picard iteration方法证明的。 : 所以推广到x'=Ax我想是比较自然的想法。 : 但往矩阵推广的严格证明其实还是挺麻烦的， : 一般的微分方程课本上很多证明都有漏掉环节。 : 矩阵是有限维的线性算子，这个幂级数的定义已经 : 是最本质的了。幂级数还不够 “elementary”吗？ : 更加不简单的理解也有很多，可以查 “谱分解”， : “算子半群” 或者 “李群指数映射” : ................... -- 据考证，亚当和夏娃都是非洲黑人。 ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 128.197.]
发信人: cockroach (冬冬), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sat Aug 23 23:52:15 2008), 转信 级数收敛不就是微积分么。。。当然主要思路还是在线性代数上 【 在 xiphoid (运动无极限) 的大作中提到: 】 : 学过线性代数就行了，都用不着微积分 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 134.84.]
发信人: xiphoid (运动无极限), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Aug 24 00:03:04 2008), 转信 这个级数本质上只有有限项非零 【 在 cockroach (冬冬) 的大作中提到: 】 : 级数收敛不就是微积分么。。。当然主要思路还是在线性代数上 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.199.]
发信人: cockroach (冬冬), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Aug 24 00:10:12 2008), 转信 为什么？ 【 在 xiphoid (运动无极限) 的大作中提到: 】 : 这个级数本质上只有有限项非零 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 134.84.]
发信人: xiphoid (运动无极限), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Aug 24 00:13:34 2008), 转信 用 Jordan canonical form 带进去看看 【 在 cockroach (冬冬) 的大作中提到: 】 : 为什么？ -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.199.]
发信人: cockroach (冬冬), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Aug 24 00:25:18 2008), 转信 我也是用约当分解来做的。 约当块乘多少次都是上三角的，为什么会有有限个非零项？ 【 在 xiphoid (运动无极限) 的大作中提到: 】 : 用 Jordan canonical form 带进去看看 -- ※ 来源:·BBS 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 134.84.]
发信人: akoug (xuantai), 信区: Mathematics 标 题: Re: 为什么可以把矩阵放在次方项上？ 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Aug 24 00:38:00 2008) 微分方程这块不是很熟悉咯 不过你觉得要是能从算子这个角度看比较简便 那么我小卖弄一下 指数函数记做e 矩阵记做A 那么这个形式exp（A）实际上本身是一个量不要只看做一个函数上得来的 它也许可以看做[e,A]，这是一个作用 exp（A）＝[e，A]可以被看做e(A), 也可以被看做A(e) e和A不严格的讲就可以当算子看 算子的本身一个好处就是作用的双方都可以看成是一样地位的 那么在作用[ , ]之下把exp（A）当作A(e)看 不知道lz是不是看着舒服点 其实lz总是把A的地位放在一个函数的位置上 我这么想的 所以一时不习惯吧 我这个解释很牵强也不严格 只是希望lz能看一下扭过这个劲来 不再把一些函数什么看的太特殊 关键是理解一个意思 这就习惯了 至于本质的解释ls几个说的都不错吧 其实方程这块都基本忘光了 hoho 【 在 freevoice (freevoice) 的大作中提到: 】 : 谢谢！把矩阵理解成一个算子对我理解很有帮助！说实话我对算子这个概念也不是很清 : 楚。算子和函数有什么区别？ -- ※ 修改:·akoug 於 Aug 24 00:42:39 2008 修改本文·[FROM: 127.0.]
